1.
La popolazione di una città è cresciuta, nel corso di cinque anni, come mostra
la tabella seguente:
1° anno 300000 313500
2° anno 313500 327607
3° anno 327607 342349
4° anno 342349 357755
5° anno 357755 373854
Supponendo costante la percentuale di
crescita, dopo quanti anni si può prevedere che la popolazione
raggiunga 500000
unità?
Per
qualsiasi valore del tempo, qual é la corrispondente popolazione?
Poiché
la percentuale di crescita è approssimativamente del 4.5%.
Osserviamo che la popolazione è data da
dopo il 1° anno 300000 + 0.045 · 300000 = 300000 (1 + 0.045)
dopo il 2° anno 300000 (1 + 0.045) + 0.045 · 300000 (1 + 0.045) = 300000 (1+ 0.045)2
dopo il 3° anno 300000 (1+ 0.045)3
... ...
ovvero, dopo x anni, 300000 (1+ 0.045)x = 300000 (1.045)x.
Per qualsiasi valore del tempo
x (in anni), la popolazione corrispondente, dunque, risulta 300000
(1.045)x.
Essa raggiunge, quindi, 500000 unità quando 500000 = 300000 (1.045)x.
Ricercate, approssimativamente, il valore del tempo x in questione utilizzando una calcolatrice.
2. Ricerca delle
leggi a partire dai dati sperimentali
Un altro approccio al problema della popolazione è quello di notare che, considerata la tabella
1 313500
2 327607
3 342349
4 357755
5 373854
i punti di coordinate
(1, log 313500)
(2, log 327607)
(3, log 342349)
(4, log 357755)
(5, log 373854)
dove con log x abbiamo
indicato il logaritmo, in una qualsiasi base, del numero x della
seconda colonna,
risultano allineati.
Per esempio, utilizzando un foglio elettronico (nella colonna C sono
considerati i logaritmi in base 10 dei numeri della colonna p),
si vede subito
l'allineamento dei punti:
I punti in questione individuano infatti la retta la cui equazione è riportata, approssimativamente, sul grafico:
Questo fatto implica che la crescita della popolazione, in funzione del tempo, sia di tipo esponenziale e data dalla formula
y = b · a x.
Infatti, se consideriamo i logaritmi di entrambi i membri, otteniamo:
log y = log b + x log a
che possiamo anche scrivere come
Y = n + x m
dove, nel nuovo sistema X,Y
di assi cartesiani, X = x e Y = log y (scala
logaritmica) e
i parametri m, n della retta possono
essere determinati
dall'equazione della retta.
Precisamente (avendo considerato uguale a 10 la base dei logaritmi):
m = log10 a da cui a = 10m = 100.0191 » 1.045
n = log10 b da cui b = 10n = 105.4771 » 300000
il che permette di risalire, approssimativamente, alla legge di crescita della popolazione del nostro problema
y = 300000 · 1.045x
Considerando
invece i logaritmi di entrambe le colonne, i punti di
coordinate
( x , y )
(log 1, log 313500)
(log 2, log 327607)
(log 3, log 342349)
(log 4, log 357755)
(log 5, log 373854)
non risultano allineati.
Questo fatto si può constatare
rapidamente nel grafico di cui sopra, dove i logaritmi dei dati x, y sono calcolati nelle colonne D e E.
In questo caso (logaritmi calcolati sui dati di entrambe le colonne), l'allineamento
comporterebbe una
legge di potenza, anziché esponenziale.
Infatti, dall'uguaglianza
y = b · x
a
risulta subito
log y = log b + a log x
Y = n + m X
vale a dire, sono i punti (log
x, log y) ad essere su di una retta, la cui pendenza esprime
immediatamente il parametro a.
Talvolta
i punti risultano solo approssimativamente allineati e allora può essere
opportuno ricercare la "migliore" retta
che passa fra di essi (retta di regressione).
La scelta di due punti
opportuni (che rappresentino l'andamento dell'insieme) può risultare utile
in molti casi, dove non
è necessaria una grande precisione.
Per arrivare però a scrivere con sicurezza l'equazione della retta ottimale
occorre un altro punto di vista.
Precisamente, si può cercare la posizione della retta che minimizza la somma dei
quadrati delle distanze,
in verticale, di
tutti i punti da essa.
In altri termini, si cerca di rendere più piccola possibile la somma (P1H1)2 + (P2H2)2 + (P3H3)2 + (P4H4)2 ...
Riprendiamo, per esempio, in considerazione i punti
(1, log 313500)
(2, log 327607)
(3, log 342349)
(4, log 357755)
(5, log 373854)
ovvero, approssimando a meno di 1/1000 i logaritmi in base 10,
(1, 5,496)
(2, 5,515)
(3, 5,534)
(4, 5,553)
(5, 5,573)
Indicando con y = m x + n l'equazione della retta in questione, la funzione da rendere minima risulta allora la seguente:
f = (5,496 - m·1
- n)2 + (5,515 - m·2 - n)2
+ (5,534 - m·3 - n)2 + (5,553 - m·4
- n)2 + (5,573 - m·5 - n)2
=
= 55 m2 + 30 m·n
-166,41 m + 5 n2 - 55,342 n + 153,14
Se evidenziamo la variabile m, la funzione
f (m) = 55 m2 + (30 n - 166,41) m + 5 n2 - 55,342 n + 153,14
si può riguardare, pensando
n come un valore fissato, come funzione della sola m.
In tal caso, poiché essa rappresenta una parabola volta verso l'alto, in
corrispondenza del vertice
si ottiene il suo minimo valore, vale a dire, per
D'altra parte, fissando m si ottiene:
f (n) = 5 n2 + (30 m - 55,342) n + 55 m2 - 166,41 m + 153,14
e questa volta il minimo si ottiene per
I valori di m e n che soddisfano entrambe le equazioni si possono facilmente determinare risolvendo il sistema:
m = 0.0192 ; n = 5.4766
e, come ci si poteva aspettare, ritroviamo i parametri dati dal foglio
elettronico.
La retta "migliore" può essere determinata anche con altri metodi.
3. Altri modelli
I. Logistico
Il modello in questione prevede limitazioni nella crescita o decrescita di una popolazione.
Supponiamo, per esempio, che, in un certo paese, si propaghi un'infezione da virus e siano stati raccolti i seguenti dati, dove x rappresenta il tempo trascorso in ore e y il numero di individui infettati in tale periodo:
Con un software algebrico possiamo ricercare rapidamente l'equazione della curva che meglio approssima i dati, trovando approssimativamente la seguente:
Una funzione del tipo precedente, ovvero
è detta logistica e descrive bene una crescita esponenziale con limitazioni.
Come si vede dal grafico, in
prossimità del valore x = 600 risulta un cambiamento di tendenza
nell'andamento
della curva, la quale cresce sempre più lentamente, tendendo a stabilizzarsi al
limite rappresentato da c.
Il punto preciso che determina l'inversione di tendenza è un
punto di flesso
della curva.
II.
Logaritmico
In
un certo paese di campagna sono state fatte osservazioni, per un arco di 6 anni,
sulla crescita del numero
di automobili.
La tabella seguente illustra la situazione: al 1° mese le auto contate sono 100,
al 3° mese 103, al 6° 105,
..., al 72° 113.
Rappresentando la funzione graficamente, per esempio con un foglio elettronico,
l'andamento sembra di tipo logaritmico.
Se, infatti, aggiungiamo una
linea di tendenza di questo tipo (tasto destro del mouse sui punti del grafico)
otteniamo il risultato seguente:
e si vede che la curva approssima molto bene i dati sperimentali.
Dal punto di vista teorico,
questo modello può essere rappresentato dalla funzione y = a + b ln(x).
Quindi, posto X = ln(x), se i punti (X,y)
risultano allineati è possibile ricavare facilmente i valori dei
parametri a e b, anche senza il foglio elettronico o software
analoghi.
Infatti, il grafico mostra un discreto allineamento
e considerando, per esempio, il secondo (1,1; 103) e l'ultimo punto (4,28; 113) possiamo scrivere l'equazione di una retta y = a + b X che approssima bene i dati:
ovvero, approssimativamente, y = 100 + 3X.
Questo prova che la
corrispondenza iniziale x ---> y è di tipo
logaritmico.
Come già abbiamo visto, la migliore retta che approssima i dati sperimentali può essere determinata in
modo
preciso con
la regressione lineare.
In contesti più significativi il modello logaritmico è adottato, per esempio, in biologia per descrivere la rapidità di crescita relativa, limitata, della misura di una popolazione.
III. Sinusoidale
Il consumo di gas, in metri
cubi, da parte di una famiglia, nei mesi da Settembre ad Aprile, in due anni,
è stato
il seguente:
mesi m3
set- 0
40
ott- 1
100
nov- 2
250
dic- 3
400
gen- 4
420
feb- 5
360
mar- 6
200
apr- 7
80
set- 8
30
ott- 9
120
nov- 10
240
dic- 11
380
gen- 12
390
feb- 13
270
mar- 14
120
apr- 15
30
Questa volta utilizziamo, per esempio, una calcolatrice (TIV) per
elaborare i dati.
La rappresentazione grafica è la seguente:
Si intuisce che l'andamento è ciclico, di tipo sinusoidale.
Richiedendo un modello (o,
come anche si dice, una regressione) tipo SinReg (tasto F5,
calcolo su due variabili)
otteniamo infatti subito il risultato e la rappresentazione grafica seguenti:
Naturalmente, possiamo arrivare approssimativamente alla stessa conclusione
anche senza utilizzare la macchina,
impiegando più tempo.
Infatti, partendo dal fatto che l'andamento sia di tipo sinusoidale, si può
scrivere inizialmente la funzione
y = sin (x).
Assumendo il periodo uguale a 8, poiché deve essere 2p / b = 8 segue b ≈ 0.8, ovvero l'equazione diventa
y = sin (0.8 x).
Il grafico è però centrato approssimativamente sulla retta y = 225, per cui l'equazione si modifica in
y = sin (0.8 x) + 225.
Ora, osservando che l'ampiezza delle oscillazioni è circa 195, possiamo ancora modificarla in
y = 195 sin(0.8 x) + 225.
Ci stiamo avvicinando; non rimane che aggiustare la fase:
Si capisce che basta traslare la curva verso destra di circa 1.7, per cui l'equazione che ci risulta è, in definitiva,
y = 195 sin(0.8 x - 1.7) + 225.
Il grafico seguente mostra la piccola differenza rispetto alla curva ottenuta con la macchina:
I modelli sinusoidali si adattano bene per fenomeni di tipo ciclico, come la pressione di un'onda sonora nel tempo, la durata della luce diurna nei vari mesi dell'anno, e così via.