Proprietà del valore atteso
1.
a. Pensando di lanciare in aria due
monete, si può indicare con X la variabile "numero delle teste
ottenute"; poi, estraendo una carta da
gioco da un mazzo di 52, con
Y la variabile "numero delle carte rosse
ottenute".
X varia nell'insieme di possibilità {0, 1, 2}, mentre Y nell'insieme {0, 1}.
Supponendo
che sia il mazzo che le monete non siano regolari e che le
probabilità per i valori di X di verificarsi risultino,
rispettivamente,
mentre quelle di Y
verificate che
b. Nel lancio di due dadi, uno rosso e l'altro verde, considerate le variabili casuali
X: punteggio sul dado rosso
Y: somma dei due punteggi
e completate la seguente tabella di probabilità:
X\Y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | TOT |
1 | 1/36 | 1/36 | 1/36 | 1/36 | 1/36 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/6 |
2 | 0 | 1/36 | ||||||||||
3 | 0 | 0 | ||||||||||
4 | 0 | 0 | ||||||||||
5 | 0 | 0 | ||||||||||
6 | 0 | 0 | ||||||||||
TOT | 1/36 | 2/36 |
Verificate che i valori attesi E(X) e E(Y) delle due variabili risultano, rispettivamente, 7/2 e 7, mentre il valore atteso E(X+Y) della somma coincide con E(X) + E(Y).
c. Tale relazione , E(X + Y) = E(X) + E(Y), vale in generale.
2. Con riferimento all'esperimento considerato nel punto a precedente, verificate che E(X · Y) = E(X) · E(Y) .
3. Considerate
la seguente situazione, dove le variabili X e Y sono dipendenti e
verificate che
E(X · Y) ≠ E(X)
·
E(Y) .
X \ Y | 1 | 0 |
1 | 1/2 | 0 |
0 | 0 | 1/2 |
X testa(1) o croce (0) nel lancio di una moneta
Y = X2
4. Le seguente relazioni, dove k è un qualsiasi numero reale, sono, in generale, vere o false?
E(k·X) = k · E(X)
E(X + k) = E(X) + k