Classificazione
dei numeri:
N, Z, Q, R e numeri macchina, il numero PI greco e la circonferenza
Possiamo distinguere vari tipi di numero:
1. è l'insieme dei numeri interi naturali, o brevemente, numeri naturali, senza dubbio i più conosciuti e utilizzati fin dall'antichità.
Alcuni calcoli si possono effettuare rapidamente a mente conoscendo le proprietà delle operazioni su tali numeri.
Per esempio (4 · 373) · 25 = (4 · 25)· 373 = 100 · 373 = 37300
(675 + 320) + 80 = 675 + (320 + 80) = 675 + 400 = 1075
(49 + 327) + 1 = (49 + 1) + 327 = 377
43 ·7 + 43 · 3 = 43 · (7 + 3) = 43 * 10 = 430
1042 =104 · 104 = (100 + 4 ) (100 + 4) = 10000 + 800 + 16 = 10816
come risulta dalla tabella seguente
· |
100 |
4 |
100 |
10000 |
400 |
4 |
400 |
16 |
e così via.
Le proprietà delle operazioni di addizione e di moltiplicazione che abbiamo utilizzato per semplificare i calcoli precedenti si possono riassumere nelle seguenti tre:
Possiamo progettare un programma per verificare, ad esempio, la proprietà distributiva:
2. L'insieme rappresenta l'insieme dei numeri interi relativi o, brevemente, interi, vale a dire lo 0 e i numeri con segno (positivo o negativo),
Illustra le operazioni di addizione e di sottrazione nell'insieme in questione.
Il seguente schema
illustra l'operazione di moltiplicazione in Z, ottenuta estendendo
l'analogo procedimento in N
(muovete i punti X o
Y sui rispettivi assi e osservate il prodotto XY).
Spiegate la costruzione geometrica che ne permette il funzionamento.
La proprietà distributiva continua a valere
utilizzando una particolare tabella come base per la regola per i segni.
Quale
delle due seguenti?
I) + + = +
II) + + = +
+ - = -
+ - = -
- + = -
- + = -
- - = +
- - = -
Verificate l'affermazione.
Continua a valere utilizzando la seguente tabella?
III) + + = -
+ - = +
- + = +
- - = -
Quale regola assumiamo allora per moltiplicare due numeri relativi?
3. I numeri che si possono ottenere come quozienti di interi si dicono razionali e il loro insieme viene indicato con la lettera Q.
Per esempio, .
Un numero razionale può
essere rappresentato da una qualsiasi frazione appartenente ad un opportuno
insieme di frazioni
equivalenti (per esempio, 0,75 può anche essere
rappresentato dalla frazione 6/8).
La frazione può generare un numero decimale finito, per esempio 1,283
o 4, oppure periodico,
quando la scrittura decimale è infinita, ma riproduce, da un certo punto
in poi, una stessa sequenza di cifre,
per esempio, 4,56712712712712 ...(numero
indicato con la notazione
).
Una frazione genera sempre un decimale finito oppure periodico.
I numeri razionali possono essere rappresentati su una retta nel modo seguente, utilizzando il teorema di Talete:
Per esempio, per determinare il punto
corrispondente a 1/3, posto OU come unità di misura, si traccia una
semiretta
uscente da O e su di essa, a partire da O, si segnano tre punti A, B, C a uguale
distanza tra loro
(per esempio tramite due simmetrie centrali, rispetto ad A e
rispetto a B).
Congiungendo C con U e tracciando le parallele alla retta CU passanti per A e
per B, si divide il segmento OU
in tre parti uguali: il punto P è quello
cercato.
Prova a fare costruzioni analoghe, per qualche altro numero razionale.
4. I numeri razionali costituiscono un insieme
ordinato denso di punti
sulla retta, ma rimangono ancora spazi
da colmare. Per esempio,riportando
sulla retta il punto P, ruotando intorno ad O la diagonale OP del quadrato di
lato 1, si ottiene il punto R che misura ,
ma questo non è un numero razionale
perché non si può ottenere
come quoziente di
due interi.
Questo nuovo numero, non razionale, si dice
anche irrazionale.
Numeri di questo tipo hanno una scrittura decimale infinita, ma non periodica,
perché, come si è
detto, non
possono essere rappresentati da una frazione.
può
comunque esser approssimato, per difetto o per eccesso, da numeri razionali e
tale approssimazione
può migliorarsi (a meno di 1/10, 1/100, 1/1000, ...) quanto
si vuole.
Anche il numero p (rapporto tra la misura della circonferenza e il suo diametro) non è razionale, ma si possono calcolare quante cifre si vogliono della sua parte non intera.
L'insieme unione dei numeri razionali (naturali, interi, decimali finiti o periodici) e irrazionali costituisce l'insieme dei numeri reali (indicato con la lettera R), così detti perché possono essere rappresentati su di una retta (retta o asse reale).
5. I numeri macchina
I numeri che possono essere rappresentati nel calcolatore costituiscono un insieme finito di elementi, che indichiamo con M e diciamo numeri macchina.
Distinguiamo due tipi di rappresentazione dei numeri, a virgola fissa e a virgola mobile (più comune):
VIRGOLA FISSA
Supponiamo di aver
riservato un byte per
la rappresentazione di un numero.
E' innanzitutto possibile rappresentare i primi numeri di N, da 0 a 255, in
quanto nel sistema binario il massimo
numero rappresentabile in un byte è
11111111.
Volendo però rappresentare, in Z, anche alcuni interi negativi, ovviamente il
massimo intero positivo deve diminuire.
E' in tal caso conveniente rappresentare i numeri interi positivi da 0 a 127 e i
numeri interi negativi da -1 a -128.
Infatti, per scrivere, ad esempio, -5,
è sufficiente considerare il complemento a 256 del suo valore assoluto, vale a
dire, 256-5 = 251 e scrivere, in binario, 251: si ottiene 11111011, che
rappresenta quindi -5.
Come si può notare, tutti i numeri negativi (da -1 a -128) hanno il bit più
significativo (più a sinistra) uguale a 1. Perché?
Con la rappresentazione dei numeri non interi le possibilità per la
memorizzazione della parte intera diminuiscono
ulteriormente. Ad esempio, il numero 5,125 si scrive, nel sistema binario,
101.001, per cui la sua rappresentazione in
macchina risulta, riservando i primi quattro bit a sinistra per la parte intera
e gli altri quattro per quella frazionaria,
01010010 (dopo i primi quattro bit è da considerarsi un punto virtuale di
separazione).
VIRGOLA MOBILE
Esso utilizza la notazione scientifica
normalizzata.
Per esempio, il numero decimale 1,5 si
scrive, nella notazione scientifica normalizzata, 0,15·101.
La parte 15 è detta mantissa, mentre 1 è l'esponente
del 10.
Supponiamo di utilizzare un byte: nel bit più significativo (più a sinistra)
possiamo scrivere il segno della mantissa
(0 positiva, 1 negativa); poi, nei tre
bit successivi, l'esponente (se negativo si segue il metodo del complemento,
come in
virgola fissa); infine la mantissa, come mostra lo schema seguente.
Quindi, nel nostro caso, poiché 1,5 si scrive 1,1 nel sistema binario, ovvero, in notazione normalizzata, 0,11·101 , la sua rappresentazione in macchina è quella illustrata.
Ovviamente, in realtà si utilizza più di un byte per la rappresentazione dei numeri, ma il ragionamento è lo stesso e i numeri che si possono rappresentare costituiscono comunque un insieme finito.
Per fissare le idee, consideriamo allora un calcolatore che lavora in
virgola mobile, riservando un bit per il segno
del numero, tre
bit per
l'esponente in complemento e quattro bit per la mantissa in notazione
scientifica normalizzata.
Quanti sono i numeri macchina?
Per rispondere, completare la seguente tabella che riporta alcune possibilità (la prima riga è dedicata agli esponenti, la prima colonna alle mantisse):
-4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
0.1000 | 0.00001 | 0.0001 | 0.001 | |||||
0.1001 | 0.001001 | |||||||
0.1010 | 1.010 | |||||||
0.1011 | ||||||||
0.1100 | 0.11 | |||||||
0.1101 | ||||||||
0.1110 | 11.1 | |||||||
0.1111 | 111.1 |
Qual è il numero più grande rappresentabile? Qual è il più piccolo?
Qual è il numero più piccolo positivo?
Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione?
Differenza di numeri quasi uguali
Consideriamo, tanto per fissare le idee, una
macchina che rappresenti, arrotondandoli, numeri con 4 cifre al più.
Per la differenza 0,8810 - 0,8801 la macchina fornisce il valore
0,001, che è l'arrotondamento del vero valore 0,0009.
L'errore assoluto commesso risulta 0,001 - 0,0009 = 0,0001 e l'errore
relativo 0,0001/0,0009 » 0,111 (più dell'11%).
Per la somma, invece, si ottiene lo stesso valore per l'errore assoluto, ma meno
dello 0,006% per l'errore relativo
(verificate l'affermazione).
Occorre quindi fare molta
attenzione quando si ripetono calcoli approssimati, come la sottrazione di
numeri molto vicini
fra loro, perché gli errori relativi (che possono essere
notevoli, come si è visto) si accumulano e possono condurre a
risultati molto
scorretti.